三通管单元体受力分析其静力平衡微分方程为：（RQ+dRQ）（Q+dQ）hdH-RQQhdH-2SQdQdH+2RHhdQsindH2=0令sindH2UdH2略去二次微量，整理：QdRQ+（RQ-RH）dQ-2SQdQh=0（1）屈服准则<3>我们用密席斯屈服准则来求解Rz，其表达式为：（Rz-RH）2+（RH-RQ）2+（RQ-Rz）2=2Rs2设变形某一瞬间主管径向位移增量为du，轴向应变为Ez，则有：EQ=5（du）5QEH=duQEQ+EH+Ez=5（du）5Q+duQ+Ez=0分离变量后积分：Qdu=-12EzQ2+C代入边界条件Q=D2，du=0得：C=18EzD2则du=-12EzQ+D28QEzdEQ=5（du）5Q=-12Ez-D28Q2Ez（2）dEH=duQ=-12Ez+D28Q2Ez根据增量理论，有：dEH-dEQRH-RQ=dEQ-dEzRQ-Rz=dEz-dEHRz-RH由此可得出：Rz-RH=6Q2D2-12（RH-RQ）（3）RQ-Rz=-6Q2D2+12（RH-RQ）（4）把上式代入密席斯准则表达式，可得：RH-RQ=D2Q233+D2Q4Rs（5）将式（5）带入式（4）中，得RQ-Rz=-3+D2Q233+D2Q4Rs

　　对于三通管，内外径相差不大，故可近似取DU2Q，则上式简化为：Rz=23Rs+RQ（6）轴向应力将式（5）代入式（4），并取S=LRs，有：dRQ=2Lh+2D2Q233+D2Q41QRsdQ积分得RQ=2LhQRs-Rs3lnD2Q2+3+D2Q4+C（7）代入边界条件Q=d2，RQ=P.从而求得积分常数C：C=P-2LdRsh+Rs3lnDd2+3+Dd4将式（7）在D2Q=1处，按泰勒级数展开，并取前两项，代入积分常数，整理得：RQ=P+Rs2Lh（2Q-d）+123Dd2-123D2Q2（8）将式（8）带入式（6），有Rz=Rs32+3Lh（2Q-d）Rs+12Dd2-12D2Q2+P（9）

　　镦粗力计算将式（9）在整个圆环管坯截面上积分，得：P1=Pz=2PQD2d2Rs32+3Lh（2Q-d）Rs+12Dd2-12D2Q2+PQdQ=PRs32-3Ldh+12Dd2+3Q2D2-d24+3L（D3-d3）6h+D24lnDd其它力的计算管坯内液体压力P及液体对冲头的反作用力P2设某一瞬时，三通支管壁厚为t1，内径为d1，在变形过程中支管处于临界塑性变形状态，则有：Pd1=4t1RsP=4t1d1Rs高压液体对冲头的反作用力为P2=Pd24P=Pd2t1d1Rs

　　管坯与凹模间的摩擦力P3设管坯与凹模内腔的摩擦系数为L，将Q=D2代入式（7），有：RQ=P+Rs33Lh（D-d）+12Dd2-12根据库伦摩擦条件S=LRQ管坯与凹模摩擦力沿管长方向中心对称分布。计算时，管长取h/2，则有P3=SPDh2=PLRQDh2=PLDh2P+Rs33Lh（D-d）+12Dd2-12三通挤胀力PP=P1+P2+P33计算中的几点说明三通管的液压挤胀成形，属于冷变形，在成形过程中有加工硬化。所以计算中的屈服应力Rs在整个变形过程中是变化的。其值在变形结束时达到*大。因此，管件的几何尺寸及力学参数应按变形结束时计算。

　　（1）h取变形结束时的三通主管长度值h0.（2）屈服应力。主管屈服应力按硬化特性确定；支管屈服应力为材料的初始屈服极限或R0.2.（3）摩擦系数。对冷变形可取L=0.1.

　　（4）等效应变。管坯变形前长为H，则变形终了时轴向压缩率为：G=H-h0H（5）主管内径d.若变形结束时管坯内径的位移为du，则d=d0-2du将Q=d2代入式（2）中**式，与上式联立求解，得：d=d0-D2-d210d0G（6）支管内外径与厚度。三通在成形过程中，厚度变化很小，可取D=D1d1=d0t=D-d02取上述参数，对20钢（硬化特性参数：Rs=745I0.2），D=89mm，d0=76mm，H=270mm，h0=189mm.计算结果为P=1905kN.实际测试P=1800kN，所得误差为5183%.

　　结论由主应力法推导的三通液压挤胀变形力计算公式简单实用，计算精度较高，其计算结果与实际测试结果吻合较好，可满足工程计算的要求。